Fonction exponentielle
Objectifs d’apprentissage
- Analyser la fonction exponentielle de base q.
- Introduire le nombre e.
- Étudier l'influence des paramètres A et k dans l'expression générale f(x) = Aq(kx).
La fonction exponentielle est une fonction puissance où la variable x est l'exposant. Dans sa forme de base, la fonction exponentielle s'écrit f(x) = qx ou f(x) = expq(x).
Le paramètre q est la base de l'exponentielle, c'est un réel strictement positif et différent de 1.
La variation de la fonction exponentielle s'étudie sur deux intervalles :
- 0 < q < 1 : la fonction est strictement décroissante : f(x) → +∞ quand x → −∞ et f(x) → 0 quand x → +∞.
- q > 1 : la fonction est strictement croissante. f(x) → 0 quand x → −∞. et f(x) → +∞ quand x → 0.
Si q = 1, alors la fonction est constante. C'est la droite d'équation y = 1.
Si q ≠ 1, la fonction exponentielle a pour asymptote la droite d'équation y = 0.
La fonction exponentielle expq(x) est une fonction convexe qui passe par le point de coordonnées (0 , 1) : ∀ q, q0 = 1.
Cas particulier : La fonction exponentielle qui admet pour tangente au point (0 , 1) la droite d'équation y = x, est la fonction exponentielle de base e. Elle se note f(x) = ex ou f(x) = exp(x).
e est un nombre irrationnel, nommé nombre d'Euler ou nombre de Néper : e ≈ 2,718 281 : e = f(1).
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